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注释
①《汉书•东方朔传》。
②《史记•梁孝王世家》。
③《后汉书•梁冀传》。
④《史记•田叔列传》。
⑤《睡虎地秦墓竹简•秦律十八种》文物出版社1978年版。
⑥见注释⑤。
⑦见注释⑤。
⑧《急就篇》。
⑨《汉书•贡禹传》。
⑩《汉书•晁错传》。
⑪见注释⑤。
⑫《汉书•文帝纪》。
⑬见注释⑫。
⑭《列宁全集》第6卷第93页注。
⑮《汉书•高帝纪》。
⑯《汉书•惠帝纪》。
⑰见注释⑯。
⑱见注释④。
⑲《汉书•高帝纪》注引《汉仪注》：“民年十五以上至五十六，出赋钱。人百二十为一算，为治库兵车马。”
⑳《汉书•宣帝纪》注引《汉仪注》：“民年七岁至十四岁，出口钱，人二十，以供天子。至武帝时，又口加三钱，以补车骑马。”
㉑《汉书•景帝纪》注：“服虔曰：万钱，算百二十七也。”
㉒《汉书•高帝纪》十一年二月诏：“令诸侯王、通侯常以十月朝献，及郡各以其口数率，人岁六十三钱，以给献费。”
㉓《后汉书•百官志五》注。
㉔参见陈直《两汉经济史料论丛》第12页，陕西人民出版社1980年版。
㉕《汉书•宣帝纪》注引孟康曰：“复音服，谓弛刑徒也。有敕令诏书去其钳钦靖衣，更犯事，不从徒加，与民为例。故当复为官作，满其本罪年月日，律名为复作也。”
㉖参见《居延汉简释文合校》第3•19，13•7，37•57号简文。
㉗《说苑•政理》。
㉘《史记•冯唐列传》。
㉙《韩非子•外储说左上》。
㉚《战国策•韩策》。
㉛《吕氏春秋•贵卒》。
㉜《战国策•燕策》。
㉝《左传• 襄公二十一年》杜预注。
㉞《史记•商君列传》。
㉟《商君书•境内篇》。
㊱《汉书•食货志•上》。
㊲《睡虎地秦墓竹筒》文物出版社1980年版。
㊳见注释 ⑤。
㊴《史记•秦本纪》、《史记•秦始皇本纪》。
㊵《后汉书•百官志•五》注。
㊶见注释⑤。
㊷见注释⑤。
㊸见注释㊲。
㊹见注释㉞。
㊺见注释㉞。
㊻《史记•平准书》。
㊼《史记•货殖列传》。
㊽《后汉书•仲长统传》。
㊾《汉书•高惠高后文功臣表•序》。
㊿ 见注释㊾。
○51 见注释㊱
○52 见注释㊻ 。
○53《史记•白起王翦列传》。
○54《史记•秦始皇本纪》。
○55《艺文类聚》卷51引《爵论》。
附
《九章算术》的源流与各算题反映的时代内容
《九章算术》这部数学典籍，由于年代久远，有关它的撰写情况在历史上缺乏明确和详细的文字记录，给后人留下了很多疑难问题；例如《九章算术》在何时成书，是由谁来编著的，它和先秦、汉代的其它数学著作之间的继承关系怎样。几十年来，学术界对这些问题始终是各执己见，争论不已的，尚未得出一致的意见。不过，这部书在东汉时代就已经广泛流传，对此大家是没有异议的。据《后汉书•马援传》记载，马援的侄孙马续“十六治诗，博览群籍，善九章算术”。马续是东汉名儒马融（公元79 年-166年）之兄，其生年大约在公元70年左右。而马融的门生郑玄（公元127年-200年）年轻时，也曾向第五元先学习过《九章算术》，精通算学。① 清朝嘉庆二十年（公元1815年），河南睢县出土过一件东汉的大司农铜斛，现在收藏在上海博物馆。据铜斛铭文所载，它作于灵帝光和二年（公元179年），是做为国家制造的标准量器而颁发于天下，铭文写道：“特为诸州作铜斗、斛、称、尺，依黄钟律历、《九章算术》，以均长短，轻重大小，用齐七政，令海内都同。”② 同铭的还有另一件铜斛和一件铜权。从上述史料来看，《九章算术》这部在东汉前期（公元1 世纪后半期）已经成书，不仅做为儒生学习的教材之一，还被封建官府当做计算度量衡标准的依据，流行的范围相当普遍。东汉时期的历史著作和考古文物上提到了《九章算术》，说明它在当时已然问世，可是记述西汉时期各种书籍的《汉书• 艺文志》中却没有见到它的名称；因此，很多学者便以此为根据把这部书的著作年代定在东汉。③
但是，另一些资料也表明，《九章算术》的成书有可能早于东汉。三国曹魏景元四年（公元263年），数学家刘徽为《九章算术》作注释时，在序言里曾经提到，这部书的历史渊源很早，它和周代的算学“九数”有关，经过秦至西汉数百年间一些学者对这部书的纂辑、修改和补充，才逐渐形成了目前流传本的内容。刘徽的注释原文如下：
“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变。暨于黄帝神而化之，引而丹之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有九数，九数之流，则九章是矣。
往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。”
照刘徽的说法，《九章算术》本来起源于西周。《周礼•大司徒篇》中曾经提到：“保氏掌谏王恶而养国子以道。乃教之六艺一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。”是讲周代的官员“保氏”负责主持国中贵族子弟的教育，向他们传授礼、乐、射、驭、书、数这六门课程，其中每一门课程又包括若干条细目，例如算学“九数”里就有九项内容。《周礼》原文当中没有关于“九数”的详细说明，可是在东汉初年，学者郑众注释《周礼》时曾说：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要，今有重差、句股。"这里的“九数”纲目，只和《九章算术》的篇名有很小的区别，在于最后的“旁要”后来被“句股”所代替。秦朝采取“焚书坑儒”的文化专制政策，在此期间，周代的“九数”等算书也没有能够逃脱这一场浩劫，保留下来的只是一些断简残编。由于西汉张苍、耿寿昌等人的删补，得以重新成书。张苍是秦及汉初人，担任过秦朝的御史官，主管文书。后来他跟随刘邦起义反秦，又和项羽作战，建立了汉朝。由于他对算学、音律、历法都有所擅长，在汉初管理过郡国岁终的上计，即关于各地财政、赋税、户口的统计工作，并担任过御史大夫和丞相的要职。耿寿昌是西汉宣帝时人，官居大司农中丞。《汉书•食货志》记载他“以善为算，能商功利，得幸于上。”耿寿昌曾经向朝廷建议实行“常平仓法”，稳定了边郡市场的粮价；还主持过杜陵的修建工程，因为计划安排得当，进展顺利，而被赐爵为关内侯。他们先后对先秦遗留下来的算术书进行过修订，其纲目、语言、文字已经和原来的“九数”有所不同，“广论者多近语”，加进了许多汉代（西汉）的社会内容和数学内容。
《广韵》卷四中写有：“九章术，汉许商、杜忠，吴陈炽、王粲并善之。"提到西汉的数学家许商、杜忠都很熟习《九章算术》（或是《九章算经》）书中的计算方法。许商是西汉后期京师长安人，在汉成帝、哀帝时曾担任过博士官、河堤都尉、将作大匠，光禄大夫和大司农等官职，多次主持过水利工程的修建活动。历史上记载他“能商功利”，编写过《许商算术》26卷和《五行论历》等著作。杜忠的事迹不详，但是西汉成帝河平三年（公元前26年），陈农访求遗书，尹咸校数术时，杜忠的算学著作《杜忠算术》16卷也已经问世。从这些零星记载来看，《九章算术》的成书时代也有可能在西汉宜帝时耿寿昌修订之后，许商、杜忠的算书问世之前。
关于《九章算术》的源流、成书年代和算题所反映的时代背景，以往有不少学者从事过探讨，还存在着若干分歧。笔者不揣冒昧，也对这个问题进行一番考辨，阐述自己的某些看法，希望能够得到专家的指正。
（一）源于战国、秦代的“粟米”问题
在《九章算术》卷二《粟米章》的46道算题，有31道是涉及原粮与米面之间，或粮米与各种饭食之间的加工比率问题。这一章的卷首，载有称做“粟米之法”的一张粮食比率换算表，做为后面各道算题计算的标准依据。文字如下：
“粟率五十 粝米三十
粺米二十七 糳米二十四
御米二十一 小䵂十三半
大䵂五十四 粝饭七十五
粺饭五十四 糳饭四十八
御饭四十二 菽荅麻麦各四十五
稻六十 豉六十三
飧九十 熟菽一百三半
蘖一百七十五”
这张表把各种数据汇集成组，以粟为标准，列举了其它谷物、食品与粟的若干比率。例如“粟率五十，粝米三十”，就是指的粟 50斗可以舂成粝米 30斗，以此类推。后面的31道算题则是根据上述条件，具体对某两种粮食、食品的数量进行换算。1975年，湖北省云梦县睡虎地秦代墓葬里，发掘出了大批竹简，其中流行于战国后期到秦朝的《秦律•仓律》里，记载了有关粟米等粮食的加工比率。原文为：“〔粟一〕石六斗大半斗，舂之为䊪（粝）米一石，䊪米一石为凿（粱）米九斗，九（斗）为毁（毇）米八斗。④”律文记载与《说文解字》的有关记录相同，和《九章算术》的“粟米之法”相比，小有差别，仅在于“粟米之法”把槃米和粺米的加工比率弄颠倒了，应为“栗率五十，粝米三十，糳米二十七，粺米二十四，御米二十一，”这也许是后人传抄误写所致。
《秦律•仓律》中还有“麦十斗，为䵂三斗”，加工比率是10 ：3，“粟米之法”中麦四十五，小䵂十三半（13.5）也可以换算成10：3，两者是完全相符的。这里表现出《九章算术》中“粟米”一章的源流相当古老，可以追溯到战国至秦代官府对于粮米加工比率所做出的法律规定。
（二）《衰分章》中所提到的“爵次”问题
《九章算术》卷三《衰分章》中有三道算题谈到按照爵位、即身份等级分配猎物、廩粟和摊派钱款的事情。
第1题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？
答曰：“大夫得一鹿三分鹿之二。
不更得一鹿三分鹿之一。
簪褭得一鹿。
上造得三分鹿之二。
公士得三分鹿之一。”
第 6 题：“今有禀粟，大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰分之，问各几何？
答曰：“大夫出一斗四分斗之一。
不更出一斗。簪褭出四分斗之三。上造出四分斗之二。公士出四分斗之一。”
第8题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，共出百钱。欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？
答曰：“大夫出八钱一百三十七分钱之一百四。
不更出一十钱一百三十七分钱之一百三十。
簪褭出一十四钱一百三十七分钱之八十二。
上造出二十一钱一百三十七分钱之一百二十二。
公士出四十三钱一百三十七分钱之一百九。”
陈直先生曾指出：“以上三则算题，都是假设说，各依爵位，分鹿、分粟、出钱。考汉书百官表，汉爵因秦制，一级曰公士，二级曰上造，三级曰簪褭，四级曰不更，五级曰大夫。宋代钱文子、清代钱大昕，皆谓汉爵八级以下为民爵，八级以上为官爵，官爵即不戍边，证之敦煌居延两地所出木简，戍卒的爵衔，皆是八级以下，与二钱的推断均合，九章所拟的算题，皆是指最低的五级民爵而言。这是西汉中期齐国人民作品的明证。⑤”
上述陈先生的观点有多处可以商榷，《衰分章》三道算题中所提到的“大夫”、“不更”、“簪褭”、“上造”、“公士”等爵级，自战国中叶商鞅在秦国变法后即已建立，沿至西汉，历时数百年。题内的文字并未直接说明是属于哪个时期的事迹，也未能指出作者的籍贯，陈直先生亦没有列举什么材料来证实它完成于西汉中期的齐人之手，却称其为“明证”，岂不是太武断了吗实际上，按照爵位高低来分配猎物，领取廩粟，承担钱款的现象，并不是汉代社会生活的状况，两汉百姓八级公乘以下均为低爵（民爵），彼此间的权益、身份地位没有明显的区别，像清代学者钱大昕所说的那样，“公乘以下，与齐民无异。⑥”百姓出猎后分配获物、交纳钱款（如社钱、人头税等）都和爵位无关。”⑦在廩粟方面，数量的多少主要是和官秩的高低有关，而和爵级没有直接的关联。从一些历史记载来看，按照爵级高低给受爵者享有不同权益的制度，是流行在战国到秦代这一阶段，即便是在较低的爵级（一至五级）中也是如此。象《韩非子•定法》所载："商君之法曰：斩一首者，爵一级，欲为官者，为五十石之官。斩二首者，爵二级，欲为官者，为百石之官。官爵之迁与斩首之功相称也。”由于爵位和官秩是一致的，所以是按照爵级的高低来领取不同的俸禄（包括禀粟），彼此间的身份地位也有明显的差别。在《秦律•传食律》中，也规定了官吏外出执行公务，途中在国家的驿站“传舍”吃饭时，依照爵级享受不同等级的伙食标准。⑧汉代的赐爵制度较之战国和秦代发生了不小的变化，八级以下的民爵所享受的权益比以前大大减少了，各级爵位之间也显示不出分明的等级界限。上述《衰分章》三道算题所反映的爵次与汉代的阶级关系不相符合，而与战国、秦代阶级结构的时代特点比较接近，看来可能是这一时期社会状况的表现。