故事大全睡前故事九章算术与汉代社会经济(24)

（三）“算数书”与《九章算术》的联系
在湖北江陵张家山汉墓简牍发现之前，学术界公认《九章算术》是我国现存最古的一部数学典籍，它的成书年代虽然有所争议，但是差距不大，基本上不出西汉中叶到东汉中叶这一阶段⑨。而张家山汉墓发掘出的竹简《算数书》，根据同墓所出的竹简历谱来看，是西汉前期吕后执政到文帝初年的遗物，⑩时代要早于《九章算术》。《算数书》的编写体例和《九章算术》相同，也是采取的数学应用问题解法集成的形式。目前，此书清理出来的小标题大约有六十个，其中有些篇名也和《九章算术》的基本相同。例如，《九章算术》的第四卷名为《少广》，卷首题目的文字为：
“今有田广一步半，求田一亩，问从（纵）几何？
答曰：“一百六十步。
术曰：“下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之为三、为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从（纵）步。”
是说假设有田一亩，宽度为一步半，求它的长度是多少。就是已知长方形面积及其一边的长，求它的另一边长。
《算数书》中也有名为“少广”的算题，原文为：
“少广广一步半步，以一为二，半为一，同之三，以为法。即直二百四十步，亦以一为二，除如法得从（纵）步。为从（纵）步百六十步。”⑪
两者的内容、计算条件和方法都是相当接近的，《九章算术》的“少广”算题比起《算数书》的同名题，只是在文字上略做了一些修订、补充。很明显，它是沿袭《算数书》而来的。
此外，《算数书》中还有《税田》、《里田》、《程禾》、《金贾（价）》等题名，在《九章算术》里也可以看到同类的算题。例如，关于计算、征收田税（租）的《衰分章》第18题：
“今有田一亩，收粟六升太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步，问收粟几何？
答曰：八斛四斗四升一十二分升之五。
术曰：以亩二百四十步为法，以六升太半升乘今有田积步为实，实如法得粟数。”
关于“里田”，见《方田章》第3、4题：
“今有田广一里，从（纵）一里。问为田几何？
答曰：三顷七十五亩。
又有田广二里，从（纵）三里。问为田几何？
答曰：二十二顷五十亩。
里田术曰：广从（纵）里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即得亩数也。”
刘徽注曰：“按此术广从（纵）里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即得亩数也。”
有关“程禾”，《九章算术》里有用“方程术”计算禾实的《方程章》第1-6题，例如第2题：
“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗。下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗。而上、下禾实一秉各几何？
答曰：上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八，
下禾一秉实五十二分斗之四十一。
术曰：如方程。损之日益，益之日损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗者，其实不满一十斗也。”
金价的计算，见《九章算术》卷七《盈不足章》第5 题：
“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？
答曰：三十三人。
金价九千八百。”
这些算题都反映出《九章算术》中的某些内容与《算数书》有着密切的联系，《算数书》是《九章算术》的源泉之一，它们之间存在着继承关系，这是显而易见的。
（四）《九章算术》中的地名问题
《九章算术》书中，还有三道涉及地名的算题。如：
《均输章》第9题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林，五日三返。问太仓去上林几何？
答曰：四十八里十八分里之十一。”
所讲的是从西汉首都长安的太仓运输粮粟到郊外上林苑的情况。
《均输章》第21题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？
答曰：二日十二分日之一。”
《盈不足章》第19题：“今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里。努马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驾马。问几何日相逢及各行几何？
答曰：一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。
良马行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六。
努马行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五。”
陈直先生曾指出：“以上两则算题，都是假借说齐国到长安，或曰长安到齐的日程。古人著书，所指皆是眼前事实，如鲁人称泰山，秦人称华岳之类，九章算题，自不能例外，这是西汉中期齐人作品的明证。⑫”另有“今有载太仓粟输上林”算题，他也说是反映齐国人民在京师长安服役情况的作品。
上述观点认为这些算题是西汉时期所做，或说是反映了西汉的情况，是可信的。但是陈直先生仅从这几道算题的文字内容来断定它们是西汉中期完成的，则没有充分的论据，只是根据算题中有两处提到了“齐”，便说它们是齐人作品也难以令人信服。笔者认为，算题中列举长安和齐这两个地名的原因，主要是由于西汉长安所在的秦地（关中）和关东的齐地是当时最富庶重要的经济区域，汉初的田肯曾对刘邦说：“秦，形胜之国也，带河阻山，县（悬）隔千里，持戟百万，秦得百二焉。地势便利，其以下兵于诸侯，譬犹居高屋之上建瓴水也。夫齐，东有琅玡、即墨之饶，南有泰山之固，西有浊河之限，北有勃海之利，地方二千里，持戟百万，县（悬）隔千里之外，齐得十二焉。此东西秦也，非亲子弟，莫可使王齐者。⑬”武帝时主父偃也说过：“齐临菑十万户，市租千金，人众殷富，巨于长安，此非天子亲弟爱子不得王此。⑭”由于秦、齐两地在当时最为重要，而长安和临淄又是全国两个最大的城市，所以，算题的编撰者借用了它们的名称，并不能意味着这些算题是齐国人的作品。
如果只是根据这三道算题中有两道的内容涉及齐地，就说它们是齐人所作。那末，这三道算题都提到了长安和当地的太仓、上林苑，为什么不说它们是长安人所作呢这样不是更具有说服力吗？实际上，当时著作中举长安和齐为例，就如同现在某些算题借用北京、上海、广州等大城市的地名一样，不过是因为它们的地位和影响，并非能够反映作者的籍贯。陈直先生以此为据，认为《九章算术》是西汉中期的齐国人民所作，而否认刘徽关于张苍、耿寿昌编撰算书的提法，指斥其为传说；⑮就笔者看来，恐怕是论据不足，难以成立的。
（五）关于“算”在历史上出现的时代
《九章算术》卷三《衰分章》第5题，谈到某县向所属各乡征发丁壮服徭役；卷六《均输章》第4题讲的是某郡向属下各县摊派赋税，都是以“算”数来表示各地区丁口的多少。原文如下：
“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发徭三百七十八人，欲以算数多少衰出之，问各几何？
答曰：“北乡遣一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七。
西乡遣一百一十二人一万二千一百七十五分人之四千四。
南乡遣一百二十九人一万二千一百七十五分人之八千七百九。”
“今有均赋粟，甲县四万二千算，粟一斛二十，自输其县乙县三万四千二百七十二算，粟一斛一十八，佣价一日一十钱，到输所七十里丙县一万九千三百三十八算，粟一斛一十六，佣价一日五钱，到输所一百四十里丁县一万七千七百算，粟一斛一十四，佣价一日五钱，到输所一百七十五里戊县二万三千四十算，粟一斛一十二，佣价一日五钱，到输所二百一十里；已县一万九千一百三十六算，粟一斛一十，佣价一日五钱，到输所二百八十里。凡六县赋粟六万斛，皆输甲县。六人共车，车载二十五斛、重车日行五十里，空车日行七十里，载输之间各一日。粟有贵贱，佣各别价，以算出钱，令费劳等。问县各粟几何？”
钱宝琮先生在《中国数学史》一书中指出，西汉高帝四年（公元前203年）“始为算赋，”⑯初次征收成年男女的丁口税，据此认为以上两道算题的写成无疑是在高帝四年之后。这种意见也有一些不妥之处，可以商榷。因为“算”（丁口）与“算赋”在历史上的出现，实际上是早于西汉的；它像汉朝的许多制度一样，渊源于秦代，甚至能够推溯到战国时期。据《后汉书•南蛮传》记载，战国后期秦昭王时，巴郡夷人用竹弩射杀伤害百姓的白虎，“昭王嘉之，而以其夷人，不欲加封，乃刻石盟要，复夷人顷田不租，十妻不算。”李贤注云：“优宠之，故一户复一顷田之税，虽有十妻，不输口算之钱。”又有《汉书•晁错传》载：“今秦之发卒也，有万死之害，而亡铢两之报，死事不得一算之复。”也是说秦昭王至秦始皇时已有“算”及“算赋”的制度、名称，则《九章算术》中涉及“算”的题目，所反映的时代范围之上限未必就是在西汉高帝四年（公元前203年），可以往前推到统一的秦朝乃至战国后期的秦国。
（六）《均输章》1-4题是否属于武帝元封、太初年间之后的作品
《九章算术》卷六《均输章》1-4题的内容，是运用“均输术”、即按照民户行道远近、劳费多少来摊派赋税徭役。在郑众对《周礼•大司徒》的解释里，“均输”被说成是周代算学“九数”中的一则细目，表明《九章算术》里的“均输术”和它有某种渊源继承关系。对于这一点，很多学者是持反对意见的，他们强调在史籍中“均输”一词的记载最早见于《史记•平准书》，里面提到西汉武帝时桑弘羊创立的“均输法”，认为《九章算术》中“均输卒”的名称源于“均输法”，因此这些算题的出现不可能早于西汉中叶。例如：陈直先生即写道：“是均输法开始于武帝元封元年，九章已有均输篇，为武帝元封以后作品的明证。⑰”钱宝琮先生也在《算经十书•九章算术提要》里指出：“郑众所说‘九数’中的均输已是汉武帝太初元年以后的赋税制度，决不是《周礼》九数原有的一个细目。
上述观点，在1984年湖北江陵张家山汉墓简牍出土以后，就开始发生动摇了。张家山汉墓的年代，据墓藏出土的竹简历谱来看，大致在西汉前期吕后至文帝初年。其中M247号墓发现的汉律竹简有500余支，清理出来的律名就包括有“均输律”，⑱虽然它的内容还没有公布，但是我们至少可以认为“均输”一词并非首创于西汉中叶了。其实，在两汉的一些著作里，还有少数零星的记载反映出"均输"制度早在先秦时代就已经出现。例如，在《盐铁论•本议篇》里，贤良文学们抨击桑弘羊所推行的“均输法”时，曾指责这项制度向人民征收他们所不生产的物品，迫使百姓贱价卖掉自己的货物，再用高价向商人买进官府所求的东西来上交。主管均输的官吏还和商贾勾结起来，垄断市场，抬高物价，造成社会经济秩序的混乱，这和古代的“均输”制度根本不同。“盖古之均输，所以齐劳逸而便贡输，非以为利而贾万物也。”这里所说的“古之均输”，并不是指当代的汉朝和年祚短暂的秦朝，而指的是先秦、主要是周代的情况。这段话表明在秦汉以前就已经有了名为“均输”的制度，它的原则和作用是“齐劳逸而便贡输”，与《九章算术》中的“均输术”、即按照各县居民行道远近劳费多少来分派赋税徭役的计算方法有类似的地方。当然，《均输章》1-4题所讲的内容和郡县制度以及轮换征发士卒戍守边塞的兵制有关，从时代上分析不会是西周的事迹，但是却完全有可能出现在那县制度诞生和巩固发展的战国、秦代以至西汉前朝。
东汉著作《越绝书》中也提到：“吴两仓，春申君所造，西仓名曰均输，东仓周一里八步，”这里也反映出战国时期就有了“均输”的名称，它的含义据吴慧先生分析，可能是指距离输所（运送粮食所到之处）远的地方贡输数量相对少一些，近地则相对多一些，以均齐劳逸，平衡负担，便利贡输而已。⑲它和《九章算术》的“均输术”有接近的地方，以上两条记载也可以证明“均输术”的源流并非是桑弘羊创立的“均输法”，“均输”一词产生的时代要提前于武帝时期，能够追溯到张家山汉墓竹简所在的西汉前期，甚至早到先秦的战国阶段。
（七）贷息与商业利润率
《九章算术》当中有两道关于借贷钱款的利息与经营商业获得利润比率计算的应用问题，内容如下：
《衰分章》第20题：“今有贷人千钱，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？
答曰：“六钱四分钱之三。
术曰：“以月三十日乘千钱为法。以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。实如法得一钱。”
《盈不足章》第20题：
“今有人持钱之蜀，贾利十三。初返归一万四千，次返归一万三千，次返归一万二千，次返归一万一千，后返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问本持钱及利各几何？
答曰：“本三万四百六十八钱三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六。
利二万九千五百三十一钱三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七。
术曰：“假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半。今之四万，余三万五千三百九十钱八分。"
这里所谈到的借贷利率月息为3%，年息为36%；商业利润率为30%。据《史记》、《汉书》等著作的记载，汉朝政府对于民间私人的借贷活动的利息率有若干规定，不论是借钱款、货物，都不许高利盘剥，非法取息，违者要受到法律的惩处。例如旁光侯刘殷，“元鼎元年，坐贷子钱不占租，取息过律，会赦，免。⑳”陵乡侯刘䜣，“建始二年，坐使人伤家丞，又贷谷息过律免。㉑”经营商业或出卖货物如果是高价贩卖，牟取暴利，超过了国家规定的市场价格“平贾”，也属于违法行为，要受到制裁。如《汉书•景武昭宣元成功臣表》载梁期侯任当千，“太始四年，坐卖马一匹贾钱十五万，过平，臧五百以上，免”。
汉朝政府规定的取息、经商利率具体是多少，由于汉律的亡佚、残缺，目前还没有见到明确的正式记载。不过，从《史记•货殖列传》所讲述的情况来看，西汉初年到武帝时期，借贷的年息和经商的利润率在20%左右。原文如下：“今有无秩禄之奉、爵邑之人，而乐与之比者，命曰‘素封’。封者食租税，岁率户二百。千户之君则二十万，朝觐聘享出其中。庶民农工商贾，率亦岁万息二千，百万之家则二十万，而更徭租赋出其中。衣食之欲，恣所好美矣。”此后还提到除了商贾和"子贷金钱千贯"的放贷者，其它各种行业获利如果不合乎20%，也不算是经营者应该得到的财产，“佗杂业不中什二，则非吾财也。”《九章算术》中的贷息和商业利润率在30%到36% 均超过了20%，从这一点来看，上述算题的编撰时代不会在西汉初年到武帝时期这个阶段，因为算书的内容不能和当时颁行的法律规定相抵触。