故事大全睡前故事九章算术与汉代社会经济(4)

（2）传食制度
秦汉时代，官府在交通要道上沿途设置驿站，称为“传舍”，向来往的官吏及其随从提供食宿。“传食”就是传舍发给饭食的制度、伙食标准按过往人员的官阶、爵位分成不同等级，如《秦律•传食律》规定：“御史卒人使者，食粺米半斗、酱驷（四）升一、采（菜）羹，给之韭葱。其有爵者，自官士大夫以上，爵食之。使者之从者，食䊪（粝）米半斗仆，少半斗⑭。”发放标准是米，但供给的是做熟的饭食，见《后汉书•光武帝纪》，“光武乃自称邯郸使者，入传舍。传吏方进食，从者饥，争夺之。”这样，要按“粟米之法”中各种米和饭的比率计算量给，才能保证照律文规定的标准授与饭食，不出差错。
另外，如果掌握了比率问题的求证算法——即《九章算术》所称之“今有术”，就可以根据不同的数据条件，套用“粟米之法”的逻辑公式来解决同类问题。
（3） 廩给制度
秦汉王朝的各级官吏、边境屯戍的士卒、以及刑徒、官奴烤、仆役等许多人，都要向官府领取口粮，称为“廩给”或“廩食”。一般是以粟为发放标准，但是也经常遇到粟米不足而用其它粮食代替的情况。如《九章算术•均输章》第6题，“今有人当禀粟二斛。仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟。问各几何？”就是这种事例。居延汉简中也多有廩米、廩麦、廩糜等不同粮食的记载。主管官吏必须运用比率算法，把粟折换成其它粮食，才能发放。
（4） 俸禄制度
汉代官吏的俸禄皆按等级以谷粟为标准，如称“二千石”、“千石”以至“百石”。支付时部分给钱，部分给粟，⑮亦常有用其它粮食代粟的现象。如敦煌汉简有“入正月奉穬麦一斛，⑯“入七月奉麦四斛。⑰”也需要进行换算。
（5）田租制度
汉代田租是“三十税一”，实际上国家是按照每亩交纳若干定额的方法来计算征收的；像《盐铁论•未通篇》所言：“田虽三十而以顷亩出税，乐岁粒米粱粝而寡取之，凶年饥馑而必求足。”通常是每亩交纳若干升粮食，以粟为一般标准⑱。如《九章算术•衰分章》第18题所载：“今有田一亩，收粟六升太半升。今有田一顷二十六亩只百五十九步，问收粟几何？”假使农户种植的是稻、豆、麦等其它作物，官吏收税时就要按若干比率折合成粟。如湖北江陵凤凰山十号汉墓中记田租的大竹简，载有“市阳租五十三石三斗六升半，其六石一升当 （䆃）物，其一斗大半当麦，其七升半当𰀀，其一石一斗二升当秏，其四石五斗二升当黄白术（秫），……⑲”就是说在市阳里上交的田租总数中，有一部分是折算成 渠（稻）、麦等粮食的。可见，负责收税的官员亦要掌握这种算法。
（6）交换和借贷中的粮食折算
汉代的民间贸易活动中，谷物能够充当一般等价物。《盐铁论•水旱篇》载“民相与市买，得以财货五谷新弊易货。”《后汉书•独行戴封传》亦载“以所赍粮市小棺，送丧到家。”都是用粮食来购买东西。当时还流行一种叫做“赘”或“质”的借贷方法，《说文解字》曰：“赘，以物质钱。”即用财物做抵押品来借贷钱粮。它的起源很早，《管子•山权数》中就有齐桓公以宝龟为“质”，向富人借粮之事，“请以宝为质于子，以假子之邑粟。”刘徽注《九章算术•粟米章》云：“以御交质变易。”就是说可以在交换借贷活动中运用“粟米之法”，虽然不能直接按它的比率数据去计算各种粮食的比值，但“粟米之法”的逻辑公式“今有术”是可以套用的。看来，这是比率算法在民间应用的一个主要方面。
《九章算术》成书的汉代，处于我国封建社会的前期。当时，自然经济的色彩浓重，甚至“乃有白首不入市井者⑳”商品贸易和货币的使用都很不发达。像交换中的一般等价物、国家的官俸、地税等等，后代多用银钱，两汉却多用谷粟等实物，在许多场合需要计算各种粮食的兑换比例；因此，“粟米之法”便成为经济活动当中不可缺少的一种知识和技能。此类解法的算题在《九章算术》里自成一章，也反映了它的重要作用。

注释
①段玉裁《说文解字注•米部》。
②《睡虎地秦墓竹简》，文物出版社1978年版。
③参见陈抗生《“睡简”杂辨•米率辨》（《中国历史文献研究集刊》第一集）。
④“粟米之法”云“大䵂五十四，……菽、荅、麻、麦各四十五。”大䵂与麦的比率为6：5。又见《九章算术•粟米》第31题，“今有麦一斗，欲为大䵂。问得几何？答曰：“为大䵂一斗二升。”比率相同，但似乎不是加工比率，因为麦一斗无法磨出大䵂一斗二升。是否指一斗麦的重量相当于一斗二升大䵂的重量？待考。
⑤《说文解字》“粲”条的文字略有讹误，将“毇”和“粲”字的位置弄颠倒了，参见《秦律•仓律》：“稻禾一石为粟廿斗，舂为米十斗；十斗粲，毇（殿）米六斗大半斗。”另外，按上述史料的记载推算，稻谷的比重约为每市斗15市斤，而目前的稻谷一般每市斗为13市斤，小有差别。是否因为古今粮食品种不同，质量有异，本文未能详究。
⑥见注释②。
⑦见注释②。
⑧李继闵《<九章算术>中的比率理论》（《<九章算术>与刘徽》第229页，北京师范大学出版社1982年版）。
⑨《论语•阳货》。
⑩见注释②。
⑪《马克思恩格斯选集》第3卷第77-78页。
⑫《汉书•楚元王传》。
⑬参见《太平御览》卷829引《淮南子》，“量粟而舂，数米而炊，可以治家而不可以治国。”《古文苑》卷17《僮约》：“奴老力索，种莞织席；事讫欲休，当舂一石。”
⑭见注释 ②。
⑮ 参见《汉书•百官公卿表》注，《后汉书•百官志》及注。
⑯ 劳干《居延汉简考释•附录•敦煌汉简校文》484。
⑰ 劳干《居延汉简考释•附录•敦煌汉简校文》566。
⑱ 参见本书第八篇《赋税》中“田租”一节。
⑲ 裘锡圭《湖北江陵凤凰山十号汉墓出土简牍考释》（《文物》1974年第7期）。
⑳《后汉书•循吏刘宠传》。

三 方 田
（一）计算各种形状土地面积的解题方法
土地面积的测量和计算是汉代经济生活中的一项重要内容；国家要按照百姓垦田的多少来征收田租、刍藁等赋税民户进行财产登记时，田地亩数也是必须申报的，还要依其价值向官府交纳“訾算”——财产税① 对于缺粮的贫民，封建政权也常常根据他们拥有土地的面积来贷给种实②。因此，丈量民田、即“度田”是统治者不可缺少的活动。两汉县乡等地方行政机构的官吏每年都要调查核实辖区内的垦田情况，然后造成簿籍，当做征收地税、财产税的依据和经济兴衰的标志。这项统计的结果还要和户口、“钱谷入出、盗贼多少”等项数字一齐逐级上报，直至朝廷，称为“上计”，是每岁例行的制度。另一方面，汉代民间普遍流行的私人土地买卖、租佃以及遗产的分配等等，也都离不开对田地的度量。《九章算术》这部书里，对于如何计算各种形状的土地面积，有着详细的记述，其中大部分内容在卷一《方田章》里，解题方法分为以下几类：
（1）方田术
《方田章》第1题：“今有田广十五步，从十六步，问为田几何？
答曰：“一亩。”
第2题：“今有田广十二步，从十四步，问为田几何？
答曰：“一百六十八步。”
方田术曰：“广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一顷。”
这里的“方田”，是指方形（包括正方形和长方形）的田地。田广若干步，从若干步，说的是整块田地的宽度有多少步，纵长有多少步。“步”是古代计量“亩”、“里”的长度单位之一，周代及秦汉一步皆为六尺。“方田术”的具体演算过程是把方田的两边——广和纵的步数相乘，“得积步”，就是田地面积的平方步数。西周时，一亩的面积是100平方步，即所谓“百步为亩”。秦孝公时商鞅变法，废除旧的亩制，实行240步的大亩③。但是直到西汉初年，国内的亩制仍没有统一，关东仍有某些地区采用周制百步的小亩，称为“东亩”、“东田”，后至汉武帝时才将其废除，通令天下皆以240步一亩为准。④“方田术”中的田亩面积，也是按照这种标准计算：“以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一顷。”就是把田地的平方步数除以240，得出亩数；如果面积较大，再除以100，可知合多少顷。
“方田”代表方形的田地，但这只是它狭义的概念。做为本章篇名的“方田”，含义则有所不同，因为这一章算题的内容，是包含着各种形状田地面积的计算方法，并非只有求证方形田地面积的解题术。唐代李籍《九章算术音义》说："方田者，田之正也。诸田不等，以方为正，故曰方田。”这里的“方”，有“平方”——单位面积的意思；各种田地虽然形状、大小不等，但是都可以通过计算得知它们的“方”——单位面积有多少。所以，不同形状的田地计算单位面积的各种解法，也可以统称为“方田”；这就是该名词的广义概念。
（2）里田术
《方田章》第3题，"今有田广一里，从一里。问为田几何？
答曰：“三顷七十五亩。”
第4题：“又有田广二里，从三里。问为田几何？”
答曰：“二十二顷五十亩。
里田术曰：“广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。”
“里田”是大田，即宽度、长度均超过一里的田地。汉代政府拥有广阔的“公田”--国有土地，其中包括山林、苑圃、池泽与未开发的荒原，国家常常组织民众、士兵在公田上进行屯垦，或者迁徙贫民、流民到那里去，授予他们土地耕种，即“赋民公田⑤”在屯垦和徙民之前，应该先测量、计算出该处可耕地的面积，以便估计出可以容纳多少劳动力；否则，盲目迁徙人口、调遣士兵会导致土地或劳力的过剩。像赵充国给汉宣帝上书，请求屯田时，就提到他对当地可耕荒田的估算，“计度临羌东至浩亶，羌虏故田及公田，民所未垦，可二千顷以上，⑥”准备用万人屯田，“田事出，赋人二十畮（亩）。⑦”
另外，两汉私人大土地所有制比起前代有很大发展，豪强地主们“馆舍布于州郡，田亩连于方国，⑧”拥有巨量土地，如宁成，“乃贯贷买陂田千余顷。⑨”阴子方家“田有七百余顷。⑩”对于这类土地，政府官员也要进行测量登记，作为纳税的依据。而大面积集中的公田、私田，以步计算显然是太繁琐了，故采用“里”——“三百步”做长度单位。由于“里田”仍然是方形，计算方法和“方田术”没有差异，还是“广从相乘”，得出“积里”、即平方里，再换算成亩数，“以三百七十五乘之。”
（3）乘分术
《方田章》第19题：“今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？
答曰：“三十五分步之十二。”
第 20、21题内容从略，“乘分术曰：“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。”
使用“乘分术”计算的田地面积仍为方形，解题术基本上与前两种相同，区别仅在于田地的宽度、长度不是整数，而是分数，均不足一步。以分数相乘，所以叫做“乘分”。
（4）大广田术
《方田章》第22、23题从略，第24题：“又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六。问为田几何？
答曰：“一亩二百步十一分步之七。
大广田术曰：“分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法，实如法而一。”
“大广田术”仍是方形田地面积的计算法，关于这一名称的来历，李淳风曾在注文中说：“大广田者，初术直有全步而无余分，次术空有余分而无全步，此术先见全步复有余分，可以广兼三术，故曰大广。”上述的“初术”是指方田术，即只有整数而没有分数的乘法；“次术”是指乘分术，即只有分数而没有整数的乘法。而大广田术中既有整数，又有分数，能够包括方田、乘分两种计算方法，所以说它“可以广兼三术，故曰大广。”
（5）少广术
《少广章》第1至11题，内容都是已知方形田地的宽度—— “田广”，或一步半、或一又几分之几步，以及面积（皆为一亩），求证这块田的纵长有多少步。如第1题：“今有田广一步半，求田一亩，问从几何？
答曰：“一百六十步。
术曰：“下有半，是二分之一，以一为二，半为一，并之得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。”
“少广”一名的来历，据李淳风注文解释：“一亩之田，广一步，长二百四十步，今欲截取其从少，以益其广，故曰少广。”是说标准田制一亩的宽度为一步，纵长为240步。现在要减少它的纵长，增长它的“广”——宽度，故以“少广”为名。这种方法看来是根据现实生活中的需要而产生的。汉代小块土地的买卖很流行，有时限于各种条件，只做一亩土地的交易，如《房桃枝买地券》：“中平五年三月壬午朔，七日戊午，雒阳大女房桃枝从同县大女赵敬买广德亭部罗西造步兵道东冢下余地一亩，直钱三千，钱即毕。⑪”而田地的纵长又不足240步，这就需要使用“少广术”来计算它的边长。
（6） 圭田术
《方田章》第25题：“今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？
答曰：“一百二十六步。”
第26题：“又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二。问为田几何？
答曰：“二十三步六分步之五。
术曰：“半广以乘正从。”
“圭”也作“珪”，本来是古代君王、贵族举行隆重仪式时所执的玉制礼器，上尖下方，形制大小因爵位及用途不同而有别。⑫圭的尖角部分称“圭角”。李籍《九章算术音义》说：“圭田者，其形上锐，有如圭然。”但确切地说，“圭田”的形状不是像圭，而是像圭角。如《夏侯阳算经》卷上注“圭田”曰：“三角之田”。从算题的内容来看，圭田的形状属于等腰三角形；题中的“广”是等腰三角形的底边，“正从”是它的高。解题术所说的“半广以乘正从”，是以底边长度的一半去乘以它的高度。